I en tidligere post om metapopulasjoner skrev vi om hvordan konnektivitet i en metapopulasjon kan skildres basert på avstanden mellom delområdene (\(d_{ij}\)) og størrelsen av delområdene (\(A_{i}A_{j}\)). Større konnektivitet er ofte assosiert med høyere utveksling mellom områdene \(i\) og \(j\): \(m_{ij} = e^{-\alpha d_{ij}}A_{i}A_{j}\), og derfor større sannsynlighet for tilstedeværelse av en bestand (Ranius et al. (2014)).
Man kan beskrive bevegelsen mellom alle områdene (dvs. for hele metapopulasjonen) med en kvadratisk matrise M hvor lengden (og bredden) er lik antall områder og fyller den med verdiene \(m_{ij}\). For denne matrisen så finner vi eigenverdien \(\lambda_{M}\). \(\lambda_{M}\) kalles også for metapopulasjonens kapasitet. Egenverdien er da proporsjonal med andel bebodde områder (\(h\) i modellene til Levins (1969), Levin (1970); også tilsvarende \(p\) i likning 3 her).
Parametrene som inngår i \(\lambda_{M}\) er teoretisk knyttet til bestandens overlevelse. Noe som også er bekreftet eksperimentelt (Molofsky and Ferdy (2005), Govindan et al. (2015)) og i felt (Bulman et al. (2007)).
Egenvektoren til egenverdien beskriver som nevnt tidligere hvor viktig et gitt område er. I fagområdet knyttet til nettverksanalyser så blir dette omtalt som egenvektor sentralitet eller egensentralitet. Egensentraliteten øker med sentraliteten til tilgrensende noder, ikke antall tilgrensende noder.
Den venstre (ledende) egenvektoren tilsvarer også reproduktiv verdi (fra Caswell). Men vil i en metapopulasjonssetting bli tolket som: node i sitt bidrag til koloniseringshendelser når den er bebodd [OvaskainenHanski2003]. Dette vil inkludere nodens funksjon som en ‘stepping stone’ for bevegelse mellom andre noder.
Man kan bygge videre på dette for å si noe om tilstedeværelsen av klynger (‘communities’) i nettverket. Disse klyngene beregnes ut prinsippene om at 1) det må være forskjellig fra tilfeldig spredning, og 2) det vil være mer spredning mellom noder innad klynger enn mellom klynger.Fra M hvor man så trekker fra en forventning knyttet til tilfeldig spredning (\((k_{i}*k_{j})/2m\)), altså hvordan avviker dette fra en tilfeldig spredning, og ender opp med en såkalt modularitsmatrise (Newman). Når vi så har standardisert denne med tanke på nullforventningen så kan vi se på egenverdiene på nytt. Da vil fortegnet (+ eller -) angi grupperingen til de ulike nodene. Denne tilnærmingen deler metapopulasjonen i potensielt to grupper. Vi kan deretter gjenta prosessen innad de to gruppene til egenverdiene ikke lengre har forskjeller i fortegnet.
Show code
distP
Show code
grid.arrange(grobs = list(a+th,
b+th,
c+th,
d+th,
textBox),
left = ggpubr::text_grob("y",
rot = 90,
vjust = 1),
bottom = ggpubr::text_grob("x",
rot = 0,
vjust = 0),
layout_matrix = rbind(c(5, 5),
c(5, 5),
c(1, 2),
c(1, 2),
c(1, 2),
c(1, 2),
c(1, 2),
c(1, 2),
c(1, 2),
c(3, 4),
c(3, 4),
c(3, 4),
c(3, 4),
c(3, 4),
c(3, 4),
c(3, 4)))
Bonacich (1972), Bonacich (2007)
Grilli, Barabás, and Allesina (2015)
Identifisere viktige områder: - Watson et al. (2011) - Jacobi and Jonsson (2011)